Question

10．如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F、G分別為CD₁、A₁B₁、B₁C₁的中點，則三棱錐A-EFG的體積為$\frac{{a}^{3}}{16}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，建立空間坐標系，求出所用點的坐標，利用向量求得E到平面AFG的距離，在利用正弦定理求出三角形AFG的面積，代入棱錐的體積公式求解．

解答 解：建立如圖所示的空間坐標系，

則F（$\frac{a}{2}，0，0$），G（0，$\frac{a}{2}$，0），E（$\frac{a}{2}，a，\frac{a}{2}$），A（a，0，a），
∴$\overrightarrow{AF}=（-\frac{a}{2}，0，-a）$，$\overrightarrow{FG}=（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-\frac{a}{2}，a，-\frac{a}{2}）$．
設平面AFG的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}x-az=0}\\{-\frac{a}{2}x+\frac{a}{2}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=-2，y=-2，
∴$\overrightarrow{n}=（-2，-2，1）$，
則E到平面AFG的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{|-2×（-\frac{a}{2}）-2a-\frac{a}{2}|}{3}=\frac{a}{2}$．
∵$AF=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，F(xiàn)G=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，AG=$\sqrt{2{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}a$，
∴cos∠FAG=$\frac{\frac{5}{4}{a}^{2}+\frac{9}{4}{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}{2•\frac{\sqrt{5}}{2}a•\frac{3}{2}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則sin∠FAG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴${S}_{△AFG}=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}a•\frac{3}{2}a•\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3}{8}{a}^{2}$，
則V_A-EFG=V_E-AFG=$\frac{1}{3}•\frac{3}{8}{a}^{2}•\frac{a}{2}=\frac{{a}^{3}}{16}$．
故答案為：$\frac{{a}^{3}}{16}$．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查了利用空間向量求點到平面的距離，是中檔題．