【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)= .
(Ⅰ)記F(x)=f(x)﹣g(x),判斷F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由;
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的F(x)在(1,2)內(nèi)的零點(diǎn)為x0 , m(x)=min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩個(gè)不等實(shí)根x1 , x2(x1<x2),判斷x1+x2與2x0的大小,并給出對(duì)應(yīng)的證明.
【答案】解:由題意:F(x)=f(x)﹣g(x),那么:F(x)=xlnx﹣ .定義域?yàn)椋?,+∞)
F′(x)=1+lnx+ ,由題設(shè)x∈(1,2),故F′(x)>0,即F(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù).(1,2)是單調(diào)增區(qū)間.那么:F(1)=ln1﹣ = <0,F(xiàn)(2)=2ln2﹣ >0,并且F(x)在(1,2)上連續(xù)的,故根據(jù)零點(diǎn)定理,有F(x)在區(qū)間(1,2)有且僅有唯一實(shí)根,即一個(gè)零點(diǎn).
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的F(x)在(1,2)內(nèi)的零點(diǎn)為x0 , 由f(x)=xlnx,當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)≤0,而g(x)= >0,故f(x)<g(x);
由(Ⅰ)可知F′(x)=1+lnx+ ,當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)>0,存在零點(diǎn)x0∈(1,2),不然有:F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0,故1<x<x0時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>g(x);
而此得到m(x)= ,
顯然:當(dāng)1<x<x0時(shí),m′(x)=1+lnx恒大于0,m(x)是單增函數(shù).
當(dāng)x>x0時(shí),m′(x)= 恒小于0,m(x)是單減函數(shù).
m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩個(gè)不等實(shí)根x1 , x2(x1<x2),則x1∈(1,x0),x2∈(x0 , +∞),
顯然:當(dāng)x2→+∞時(shí),x1+x2>2x0 .
要證明x1+x2>2x0 , 即可證明x2>2x0﹣x1>x0 , 而m(x)在x>x0時(shí)是單減函數(shù).故證m(x2)<m(2x0﹣x1).
又由m(x1)=m(x2),即可證:m(x1)<m(2x0﹣x1).即x1lnx1< ,(構(gòu)造思想)
令h(x)=xlnx﹣ ,由(1<x<x0).其中h(x0)=0,
那么:h′(x)=1+lnx+ ﹣ ,
記φ(t)= ,則φ′(t)= ,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),φ′(t)>0;當(dāng)t>1時(shí),φ′(t)<0;故φ(t)max= ;
而φ(t)>0;故 >φ(t)>0,而2x0﹣x>0,從而有: <0;
因此:h′(x)=1+lnx+ ﹣ >0,即h(x)單增,從而1<x<x0時(shí),h(x)<h(x0)=0.
即x1lnx1< 成立.
故得:x1+x2>2x0 .
【解析】(Ⅰ)對(duì)F(x)求導(dǎo),利用x∈(1,2)判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性,在利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行證明.(Ⅱ)先由x的范圍討論f(x),g(x)的大小,確定之間的關(guān)系式m(x),在判斷x1+x2與2x0的大小,可以利用分析法對(duì)其進(jìn)行證明.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;二次函數(shù)的零點(diǎn):(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)才能正確解答此題.
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【題目】給定集合A={a1 , a2 , a3 , …,an}(n∈N* , n≥3)中,定義ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N*)中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩元素和的容量,用L(A)表示.若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,設(shè)集合A={a1 , a2 , a3 , …,a2016},則L(A)= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1()的最小正周期為π,且.
(1)求ω和φ的值;
(2)函數(shù)f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變的情況下向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,
①求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;
②求函數(shù)g(x)在的最大值.
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【題目】在△ABC中,.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比;
(2)若N為AB中點(diǎn),與交于點(diǎn)P,且 (x,y∈R),求x+y的值.
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(I) 求a+b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=﹣x2﹣ax﹣b,若對(duì)于x≥a均有g(shù)(x)<f(x),求a的取值范圍.
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【題目】已知定義在[﹣ , ]的函數(shù)f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
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D.(﹣∞,﹣ ]∪( ,+∞)
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【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N* .
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
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