Question

已知向量

a

=（mx²，-1），

b

=（

1

mx-1

，x）（m為常數(shù)）．
（1）若f（x）=

1

a • b

是奇函數(shù)，求m的值；
（2）若向量

a

，

b

的夾角＜

a

，

b

＞為[0，

π

2

）中的值，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先把給出的兩個向量的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，化簡后運用奇函數(shù)的定義即可求解使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的實數(shù)m的值；
（2）根據(jù)兩向量

a

，

b

的夾角為[0，

π

2

）中的值，所以兩向量的數(shù)量積一定為正值，寫出兩個向量的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積大于0，分類討論求解實數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知

a

•

b

=

mx2

mx-1

-x=

x

mx-1

，
所以f(x)=

mx-1

x

=m-

1

x

．由題知對任意的不為零的實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），
即m+

1

x

=-m+

1

x

成立，所以m=0．
（2）由題意知

a

•

b

＞0，所以

x

mx-1

＞0，即x（mx-1）＞0．
①當(dāng)m=0時，x＜0；
②當(dāng)m＞0時，（x-

1

m

）x＞0，所以x＜0或x＞

1

m

；
③當(dāng)m＜0時，（x-

1

m

）x＜0，所以

1

m

＜x＜0．
綜上，當(dāng)m=0時，實數(shù)x的取值范圍是x＜0；當(dāng)m＞0時，實數(shù)x的取值范圍是x＜0或x＞

1

m

；
當(dāng)m＜0時，實數(shù)x的取值范圍是

1

m

＜x＜0．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，模、夾角，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是正確寫出兩個向量的數(shù)量積．