Question

如圖所示在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OA=OS=AB=1，OC=4，
點M是棱SB的中點，N是OC上的點，且ON：NC=1：3，以O(shè)C，OA，OS所在直線
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求異面直線MN與BC所成角的余弦值；
（II）求MN與面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再求得相關(guān)點的坐標(biāo)，再求的相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量夾角公式求解．
（2）欲求MN與面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系數(shù)法求出平面SAB的一個法向量，最后用向量夾角公式求解即可．

解答：解：如圖建系，則S（0，0，1）C（4，0，0）A（0，1，0）B（1，1，0）
所以N（1，0，0）M（

1

2

，

1

2

，

1

2

)（2分）
（1）

MN

=(

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)

CB

=（-3，1，0）cos＜

MN

，

CB

＞=

MN • CB

| MN • CB |

=

-2

3 2 10

=-

2

15

30

（5分）
∴直線MN與BC所成角的余弦值為

2

15

30

（6分）

（2）設(shè)平面SAB的一個法向量為

n

=(a，b，c)
則

n

•

SB

=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0

n

•

SA

=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量

n

=(0，1，1)（8分）
cos＜

MN

，

n

＞=

MN • n

| MN • n |

=

-1

3 2 2

=-

6

3

（9分）
∴直線MN與面SAB所成角的正弦值為

6

3

（10分）

點評：本題主要考查用向量法研究直線與平面所成的角和異面直線所成的角，選用向量法，避開了作輔助線，優(yōu)越性很強，作為理科要注意應(yīng)用．