Question

【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)零點個數(shù);

（3）用表示的最小值，設(shè)，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)只有一個零點；（3）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，代入得為直線的斜率，利用點斜式可求直線方程；

（2）先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，判定零點的個數(shù)；

（3）為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用分離參數(shù)法求解.

（1）∵，∴切線的斜率，.

∴函數(shù)在點處的切線方程為.

（2）∵，，∴，，，

∴存在零點，且.∵，

∴當(dāng)時，；當(dāng)時，由得

.∴在上是減函數(shù).

∴若，，，則.∴函數(shù)只有一個零點，且.

（3）解：，故，

∵函數(shù)只有一個零點，∴，即.∴.

∴在為增函數(shù)在，恒成立.

當(dāng)時，即在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，只需，

，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

的最小值，.

當(dāng)時，，由上述得，則在恒成立.

綜上述，實數(shù)的取值范圍是.