Question

平面內到定點（1，0）和到定點（4，0）的距離的比為

1

2

的點的軌跡為曲線M，直線l與曲線M相交于A，B兩點，若在曲線M上存在點C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且

a

=(-1，2)，求直線l的斜率及對應的點C的坐標．

Answer 1

分析：設曲線C上的任意一點P（x，y），利用平面內到定點（1，0）和到定點（4，0）的距離的比為

1

2

，可得

(x-1)2+y2

=

1

2

(x-4)2+y2

，從而可求曲線C的方程；利用

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且|

OA

|=|

OB

|，可得

AB

⊥

OC

，

OC

∥

a

，從而可求直線l的斜率，設C（x₀，y₀），利用

x02+y02=4 x0：y0=1：2

，可求對應的點C的坐標為．

解答：解：設曲線C上的任意一點P（x，y），則

(x-1)2+y2

=

1

2

(x-4)2+y2

，
化簡可得曲線C的方程為x²+y²=4．…（4分）
∵

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且|

OA

|=|

OB

|
∴

AB

⊥

OC

，

OC

∥

a

∵

a

=(-1，2)
∴kAB=

1

2

                                  …（8分）
設C（x₀，y₀），由

x02+y02=4 x0：y0=1：2

，解得

x0= 2 5 5 y0=- 4 5 5

或

x0=- 2 5 5 y0= 4 5 5

∴直線l的斜率為

1

2

，對應的點C的坐標為(

2 5

5

，-

4 5

5

)或(-

2 5

5

，

4 5

5

)．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查向量知識的運用，考查直線的斜率，解題的關鍵是掌握軌跡方程的一般求法．