Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x＝﹣3于點(diǎn)D（﹣3，m）．

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD||OE|，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)出直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)為一元二次方程的形式.根據(jù)直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)得出判別式大于零，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的斜率和方程，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.（2）將直線的方程代入橢圓方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式，求得，代入列方程，解方程求得的關(guān)系，由此判斷出直線過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)直線l的方程為y＝kx+t（k＞0），由題意，t＞0，

由方程組，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由題意△＞0，所以3k2+1＞t2，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，

由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此，

此時(shí)，所以O(shè)E所在直線的方程為，

又由題意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，

所以m2+k2≥2mk＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝k＝1時(shí)上式等號(hào)成立，

此時(shí)由△＞0得0＜t＜2，因此當(dāng)m＝k＝1且0＜t＜2時(shí)，m2+k2取最小值2．

（2）證明：由（1）知D所在直線的方程為，

將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得，又，

由距離公式及t＞0得，，，

由|OG|2＝|OD||OE|，得t＝k，

因此直線l的方程為y＝k（x+1），所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0）．