Question

已知橢圓E的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，其左焦點為F，點M（-3，0），過點F的直線（不垂直于坐標(biāo)軸）與E交于A，B兩點．
（I）證明：∠AMF=∠FMB；
（II）求△MAB面積S的最大值．

Answer 1

分析：（I） 由

y = k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

 可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂ 
的值，求得AM 和BM 的斜率之和 K_AM+K_BM=0，從而得到∠AMF=∠FMB  成立．
（II）由△MAB面積S=

1

2

 MF•|y₁-y₂|=

6

•

1 9 (1+3k2)2+  1 9 (1+3k2)- 2 9 1+ 3k2

，令 t=1+3k²，t≥1  得S=

6

3

•

1+ 1 t - 2 t2

≤

3

2

，從而得出結(jié)論．

解答：解：（I）證明：根據(jù)題意，設(shè)AB的直線方程為 y=k（x+2），k≠0，A （x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
由

y = k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

 可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=

-12k2

1+3k2

，x₁•x₂=

12k2-6

1+3k2

，
∴K_AM+K_BM=

y1

x1+ 3

+

y2

x2+3

=

k[2x1•   x2+ 5(x1+   x2)+12]

x1•   x2+ 3(x1+   x2 ) +9

，
∴2x₁•x₂+5（x₁+x₂）+12=

24k2- 12

1+3k2

+

-60k2

1+3k2

+12=0，
∴∠AMF=∠FMB  成立．
（II）求△MAB面積S=

1

2

 MF•|y₁-y₂|=

1

2

•|k|•

(x1+   x2)2- 4x1•   x2

 
=

6(k2+ k4) 1+3k2

=

6

•

1 9 (1+3k2)2+  1 9 (1+3k2)- 2 9 1+ 3k2

．
令 t=1+3k²，t≥1，則 S=

6

3

•

t2+t-2 t2

=

6

3

•

1+ 1 t - 2 t2

≤

3

2

，
故△MAB面積S的最大值等于

3

2

．

點評：本題考查直線的斜率公式，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，得到△MAB面積S=

6

•

1 9 (1+3k2)2+  1 9 (1+3k2)- 2 9 1+ 3k2

，是解題的難點．