Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù) 是奇函數(shù)．
（1）求a值；
（2）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（3）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定義域為R且為奇函數(shù)，

∴f（0）= =0，解得a=1，經(jīng)檢驗符合．

（2）解：∵ ，f（x）在R上位減函數(shù)

證明：設(shè)x1＜x2，

則 ，（∵ ）

∴f（x）在R上是減函數(shù)．

（3）解：由F（x）=0，

得f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0，

∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

∴f（4x﹣b）=f（2x+1）

即4x﹣b=2x+1有解，

∴b=4x﹣2x+1=（2x）2﹣22x≥﹣1，

∴實數(shù)b的取值范圍是b≥﹣1

【解析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，由f（0）=0，即可求a值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的定義，求b的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．