Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且a_n+S_n=1
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{1}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)可推得2a_n=a_n-1，從而證明；
（2）化簡(jiǎn)b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，從而求前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=1，a_n+S_n=1；
∴2a_n=a_n-1，
若a_n-1=0，則a_n=0與${a_1}=\frac{1}{2}$矛盾；
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴T_n=$2n-2+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，屬于中檔題．