Question

9．已知函數(shù)f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若對(duì)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$，則
（1）實(shí)數(shù)a的值為1；
（2）函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的最值金額三角函數(shù)的性質(zhì)即求出a的值，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理即可求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），對(duì)于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，有sinx+xcosx＞0，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，從而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞減，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（0）=-$\frac{3}{2}$，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，從而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{πa}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，
（2）由（1）知，f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$從而有f（0）=-$\frac{3}{2}$＜0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，
又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，所以函數(shù)f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
又由（1）知f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，
由g（$\frac{π}{2}$）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m∈[$\frac{π}{2}$，π]，使得g（m）=0．
由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，有g(shù)′（x）＜0，從而g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，從而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）內(nèi)單調(diào)遞增
故當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，m）時(shí)，f（x）＞f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，從而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)x∈[m，π]時(shí)，有g(shù)（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，從而f（x）在[m，π]內(nèi)單調(diào)遞減．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f（x）在[m，π]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：（1）1，（2）2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具研究清楚函數(shù)的單調(diào)性，本題考察了轉(zhuǎn)化的思想方法及判斷推理的能力，是高考中常見(jiàn)的題型，必考題，學(xué)習(xí)時(shí)要悉心掌握此類題的解題規(guī)律