正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p＞0）上，求這個正三角形的邊長．
分析：根據(jù)拋物線的對稱性可知，若正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p＞0）上，則另外兩個定點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，就可的直線OA的傾斜角，據(jù)此求出直線OA的方程，與拋物線方程聯(lián)立解出A點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出正三角形的邊長．
解答：解：∵拋物線y2=2px關(guān)于x軸對稱，
∴若正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p＞0）上，
則A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∴直線OA傾斜角為30•斜率為
3
3

∴直線OA方程為y=
3
3
x，
由
y=
3
3
x
y2=2px
得，
x=6p
y=2
3
p

∴A（6p，2
3
p），則B（6p，-2
3
p），
∴|AB|=4
3
p
∴這個正三角形的邊長為4
3
p
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的對稱性，直線方程的點(diǎn)斜式，以及曲線交點(diǎn)的求法，屬于圓錐曲線的綜合題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上，則這個正三角形的邊長是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p＞0）上，則這個正三角形的面積是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求焦點(diǎn)為（0，-6），（0，6）且經(jīng)過點(diǎn)（2，-5）的雙曲線方程；
（2）正三角形的一個頂點(diǎn)位于拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，求正三角形的邊長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個命題：
①平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；
②拋物線y=ax2的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是
|a|
4
；
③直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p；
④正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4
3
p．其中正確命題的序號是
④
④
．

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