Question

設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導(dǎo){a_n}的前n項(xiàng)和公式；
（Ⅱ） 設(shè)q≠1，證明數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（I）分q=1與q≠1兩種情況討論，當(dāng)q≠1，0時(shí)，利用錯(cuò)位相減法即可得出；
（II）分①當(dāng)存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立時(shí)，使用反證法即可證明．
解答：解：（I）當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁；
當(dāng)q≠0，1時(shí)，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
兩式錯(cuò)位相減得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比數(shù)列的定義可得，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化為（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴．
∴；
（Ⅱ）用反證法：設(shè){a_n}是公比為q≠1的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
①當(dāng)存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立時(shí)，數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．
②當(dāng)?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立時(shí)，則==，
化為（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
綜上兩種情況：假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法、反證法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．