Question

設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且PA⊥面ABCD．
（1）求證：直線PC⊥直線BD；
（2）過(guò)直線BD且垂直于直線DC的平面交PC于點(diǎn)E，如果三棱錐E-BCD的體積取得最大值，求此時(shí)四棱錐P-ABCD的高．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連AC交BD于O，由已知得PA⊥BD，BD⊥AC，由此能證明直線PC⊥直線BD．
（2）作EF⊥AC于F，連OE，由已知得當(dāng)EO=EC時(shí)EF有最大值，從而得到當(dāng)四棱錐的高為

2

時(shí)，三棱錐E-BCD有最大值．

解答： （1）證明：連AC交BD于O
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PA∩AC=平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴直線PC⊥直線BD．
解：作EF⊥AC于F，連OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
∴當(dāng)PA的長(zhǎng)度變化時(shí)，點(diǎn)E的軌跡是以O(shè)C為直徑的半圓
∴當(dāng)EO=EC時(shí)EF有最大值
此時(shí)PA=AC=

2

•AB=

2

，
∵PA就是四棱錐P-ABCD的高
∴當(dāng)四棱錐的高為

2

時(shí)，三棱錐E-BCD有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐E-BCD的體積取得最大值時(shí)四棱錐P-ABCD的高的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．