Question

設(shè)f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，且對任意a，b∈[-2，2]，當(dāng)a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，且f（2）=2，
（1）判定并證明f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性；
（2）若f（x）≤m²-2pm+2對任意p∈[-1，1]及任意x∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，能得到f（a）＞f（b）．
（2）依題意，只需f（x）max≤m²-2pm+2．構(gòu)造h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作關(guān)于p的函數(shù)．
利用一次函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：（1）∵對任意a，b∈[-2，2]，當(dāng)a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
不妨設(shè)a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
知f（x）在[-2，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
（2）任意x∈[-2，2]，f（x）∈[f（-2），f（2）]，即f（x）∈[-2，2]，
只需f（x）max≤m²-2pm+2．即m²-2pm+2≥2，m²-2pm≥0對任意p∈[-1，1]恒成立．
令h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作關(guān)于p的函數(shù)．
當(dāng)m=0時，h（p）=0符合題意．
當(dāng)m≠0時，需

h(-1)≥0 h(1)≥0

即

m2+2m≥0 m2-2m≥0

，解得m≥2或m≤-2綜上所述，m的取值范圍是m=0或m≥2或m≤-2

點評：本題考查解函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易出錯．解題時要認真審題，注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．