【題目】如圖，直三棱柱的底面為等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，可得出，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）由平面得出，利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)槿庵?/span>為直三棱柱，所以平面，

平面，，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面，

平面，所以.

又因?yàn)?/span>，，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知平面，所以.

設(shè)，則有，即，得.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，，，

由，令，可得，，則，

因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量為，

，

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值為.

（1）求的值；

（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，證明：.（參考公式：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說(shuō)明理由.

（3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且存在，使得，設(shè)，，，．

（Ⅰ）證明單調(diào)遞增；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）記，其前項(xiàng)和為，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若為奇數(shù)，求證：“”的充要條件是“為奇數(shù)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PF的中點(diǎn)，連接OM，則△OMQ的最小面積為（ ）

A.1B.C.2D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)．已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率；

（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且σ2＝362．利用該正態(tài)分布，估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于91分的人數(shù)；

（3）預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開(kāi)始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k（k∈(1，2n））；③每答對(duì)一題加1.5分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī)．已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.7，且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī)，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？

（參考數(shù)據(jù)：；若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，以為圓心的圓過(guò)兩點(diǎn)，且與直線相切.若存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D，若存在實(shí)常數(shù)及，對(duì)任意，當(dāng)且時(shí)，都有成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).

（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，求及應(yīng)滿足的條件；

（3）已知函數(shù)不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)具有性質(zhì)（其中，），記，求證:數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是或.

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