Question

2．若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長(zhǎng)為4，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（　　）

• A． 10
• B． 4+2$\sqrt{6}$
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知中圓的方程x²+y²+2x-4y+1=0我們可以求出圓心坐標(biāo)，及圓的半徑，結(jié)合直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長(zhǎng)為4，我們易得到a，b的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0是以（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，
又∵直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長(zhǎng)為4，
∴直線過圓心，
∴a+2b=2，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（a+2b）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4b}{a}$+$\frac{3a}$）≥$\frac{1}{2}$（8+4$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為4+2$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知條件，分析出圓心在已知直線上，進(jìn)而得到a，b的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．