Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，x₁+x₂＜0．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出f^′（x），分別解出f^′（x）＞0與f^′（x）＜0的x取值范圍即可得到單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，不妨設(shè)x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用導(dǎo)數(shù)先證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，因此得證．
解答：解：（I）易知函數(shù)的定義域為R．
==，
當(dāng)x＜0時，f^′（x）＞0；當(dāng)x＞0時，f^′（x）＜0．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（II）當(dāng)x＜1時，由于，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證＜．此不等式等價于．
令g（x）=，則g^′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當(dāng)x∈（0，1）時，g^′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．
點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，需要較強的推理能力和計算能力．