Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+2ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2+1＜ex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex+2ax，得f'（x）=ex+2a，

令x=0，可得f（0）=1，

可得y=f（x）在點A（0，1）處的切線斜率為e0+2a=﹣1，

即2a=﹣2，解得a=﹣1；

f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2，

當x＞ln2時，可得f′（x）＞0，f（x）遞增；

當x＜ln2時，可得f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有f（x）在x=ln2處，取得極小值，

且為2﹣2ln2，無極大值；

（2）證明：令g（x）=ex﹣x2﹣1，

則g'（x）=ex﹣2x，

由（Ⅰ）得，g（x）在x=ln2處，取得極小值，

且為最小值2﹣2ln2，

由2﹣2ln2＞0，

即有g(shù)′（x）＞0，

則g（x）在（0，+∞）遞增，

可得g（x）＞g（0）=0，

即當x＞0時，x2+1＜ex．

【解析】（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得點A（0，1），可得切線的斜率，解方程可得a=﹣1；由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到極小值，無極大值；（2）令g（x）=ex﹣x2﹣1，求出導(dǎo)數(shù)，再由（Ⅰ）可得g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）遞增，即可得證．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．