Question

已知曲線C₁：y=ax²，（a＞0）上一點(diǎn)A（1，a）到原點(diǎn)的距離是

26

，過(guò)原點(diǎn)O作OM、ON交C₁于M、N兩點(diǎn)，直線MN交y軸于點(diǎn)Q（0，y₀），
（1）求曲線C₁的方程；（2）當(dāng)∠MON為銳角時(shí)，求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1+a2

=

26

，故a=5，故曲線C₁的方程為 y=5x²．
（2）設(shè)M （m，5m² ）、N （n，5n² ），則由直線MN的方程求出y₀=-5mn，由∠MON為銳角可得

OM

•

ON

＞0，可得 mn＜-

1

25

，或 mn＞0，從而求得y₀的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得

1+a2

=

26

，∴a=5，故曲線C₁的方程為 y=5x²．
（2）設(shè)M （m，5m² ）、N （n，5n² ），則直線MN的方程為 

y-5n2

5m2-5n2

= 

x-n

m-n

，
令 x=0，可得 y₀=-5mn．
由∠MON為銳角可得

OM

•

ON

=mn+25m²n²＞0，∴mn＜-

1

25

，或 mn＞0，
∴y₀＜0，或  y₀＞

1

5

，
故y₀的取值范圍是(-∞，0)∪(

1

5

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出 mn＜-

1

25

，或 mn＞0，是解題的關(guān)鍵．