過原點(diǎn)O作圓x2+y2-2x-4y+4=0的任意割線交圓于P1，P2兩點(diǎn)，求P1P2的中點(diǎn)P的軌跡．

解：設(shè)割線OP1P2的直線方程為y=kx代入圓的方程，
得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0
即（1+k2）x2-2（1+2k）x+4=0
設(shè)兩根為x1，x2即直線與圓的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
由韋達(dá)定理得：

又設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）
P是P1P2的中點(diǎn)，所以
又P點(diǎn)在直線y=kx上，
∴，代入上式得
兩端乘以，得
即x2+y2=x+2y

這是一個(gè)一點(diǎn)為中心，以為半徑的圓，
所求軌跡是這個(gè)圓在所給圓內(nèi)的一段弧．
分析：設(shè)割線OP1P2的直線方程為y=kx與圓的方程聯(lián)立得（1+k2）x2-2（1+2k）x+4=0，再由韋達(dá)定理得：，因?yàn)镻是P1P2的中點(diǎn)，所以，再由P點(diǎn)在直線y=kx上，得到，代入上式得整理即可．要注意范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)的軌跡方程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過原點(diǎn)O作圓x2+y2-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，
①求T=x2+y2+4x-6y的最大、最小值；
②求N=
yx+2
的最大、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長(zhǎng)為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y=9x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2=5的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2011-2012學(xué)年高二第二次月考數(shù)學(xué)試題 題型：044

過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA．

(1)求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)如點(diǎn)M(x，y)是(1)中的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)；

①求T＝x2＋y2＋4x－6y的最大、最小值；

②求N＝的最大、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過原點(diǎn)O作圓x2+y2-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，
①求T=x2+y2+4x-6y的最大、最小值；
②求N=數(shù)學(xué)公式的最大、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

過原點(diǎn)O作圓x2+y2-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，
①求T=x2+y2+4x-6y的最大、最小值；
②求N=的最大、最小值．

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