Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

3

，點D為AC的中點，點E在線段AA₁上，
（Ⅰ）當E為AA₁中點時，求證：ED∥平面A₁B₂C
（Ⅱ）當點A到平面BDE的距離為

1

2

時，求AE的長度．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得ED∥A₁C，由此能證明ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）過A作AF⊥DE于F，由已知得AA₁⊥BD，BD⊥AC，從而點A到平面BDE的距離為AF=

1

2

，由面積公式，由此能求出AE．

解答： （Ⅰ）證明：∵在△AA₁C中，E為AA₁中點，D為AC的中點，
∴ED∥A₁C，且ED?平面A₁B₁C，A₁C?平面A₁B₁C，
∴ED∥平面A₁B₁C．

（Ⅱ）解：如圖，過A作AF⊥DE于F，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴AA₁⊥BD，
在正△ABC中，D是AC的中點，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AC 1 ，AF?平面AC₁，
∴BD⊥AF，又AF⊥DE，
∴AF⊥平面BDE，故點A到平面BDE的距離為AF，即AF=

1

2

．
設AE=a，在Rt△ADE中，AD=1，得DE=

a2+1

，
由面積公式，得AE•AD=DE•AF，即a=

1

2

•

a2+1

，解得a=

3

3

．
當點A到平面BDE的距離為

1

2

時，AE=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．