Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=|log₂a_n|，記T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的圖象上．可得S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用遞推式 即可得出．
（2）b_n=n，可得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n，代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）化簡整理，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的圖象上．
∴S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$-$[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=|log₂a_n|=n，
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2+2•2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴T_n-n-1=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2-n-1=（n-1）×（2ⁿ⁺¹-1）＞0（n≥2）．
由（n-1）²≤m（T_n-n-1）即（n-1）²≤m（n-1）（2ⁿ⁺¹-1）．
由于上式對(duì)于n≥2恒成立，
∴m≥$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$≥$\frac{2-1}{{2}^{2+1}-1}$=$\frac{1}{7}$．
∴實(shí)數(shù)m取值范圍是$[\frac{1}{7}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．