Question

17．在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=$\frac{1}{3}$BC=1，E為SD的中點(diǎn)．
（1）若F為線段BC上一點(diǎn)，且BF=$\frac{1}{6}$BC，求證：EF∥平面SAB；
（2）在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得直線EG與平面SBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{14}$？若存在，求出BG的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AS的中點(diǎn)G，連接GE，GB，可證明AD∥BF，再證明EG∥BF，從而可證EG∥BF，又EF?平面SABA，BG?平面SAB，即可證明EF∥平面SAB．
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AS}$所在方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，假設(shè)在線段BC上存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)G（1，t，0）（0≤t≤3）．設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面SBC的法向量，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\end{array}\right.$，可解得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），由|cos＜$\overrightarrow{EG}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，即可解得t的值，從而得解．

解答 證明：（1）取AS的中點(diǎn)G，連接GE，GB，由EG是△SAD的中位線，
知EG∥AD，EG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$…（2分）
∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，即AD∥BF，
由題意，BF=$\frac{1}{6}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴EG=BF…（3分）
∵EG∥AD，AD∥BF，
∴EG∥BF，…（4分）
∴四邊形GEFB為平行四邊形．
∴EG∥BF，…（5分）
又∵EF?平面SABA，BG?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．…（6分）
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AS}$所在方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），S（0，0，1），B（1，0，0），C（1，3，0）…（8分）
假設(shè)在線段BC上存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)G（1，t，0）（0≤t≤3）．
則$\overrightarrow{EG}$=（1，t-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{SC}$=（1，3，-1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面SBC的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{x+3y-z=0}\end{array}\right.$．
令z=1，則得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）…（10分）
由題意，|cos＜$\overrightarrow{EG}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{1×1+0×（t-\frac{1}{2}）+1×（-\frac{1}{2}）}{\sqrt{2}•\sqrt{{1}^{2}+（t-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，…（11分）
解得t=2，或t=-1（舍去），
所以，在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得直線EG與平面SBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{14}$，這時(shí)，BG=2…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，用空間向量法求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．