Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=

1

3

x³-x²-ax+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x∈（0，+∞），g′（x）≥f（e）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段后判斷在不同區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，配方后求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，代入g′（x）≥f（e）后分離變量即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1．
令f′（x）＞0，得lnx＞-1，∴x＞

1

e

．
由于f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)單調(diào)遞增；
（2）由g（x）=

1

3

x³-x²-ax+2．
所以g′（x）=x²-2x-a=（x-1）²-1-a．
則g′（x）_min=-1-a．
由g′（x）≥f（e）恒成立，
得-1-a≥f（e）=e恒成立，
∴a≤-1-e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用配方法求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法，是中檔題．