已知a∈R,函數(shù)f(x)=xln(-x)+(a-1)x.
(Ⅰ)若f(x)在x=-e處取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的最大值g(a).
分析:(I)先對(duì)函數(shù)y=f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(II)先研究f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的單調(diào)性,再利用導(dǎo)數(shù)求解f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的最大值問題即可,故只要先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最后確定出最大值即得.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=ln(-x)+a,(2分)
由題意知x=-e時(shí),f'(x)=0,即:f'(-e)=1+a=0,
∴a=-1(3分)
∴f(x)=xln(-x)-2x,f'(x)=ln(-x)-1
令f'(x)=ln(-x)-1=0,可得x=-e
令f'(x)=ln(-x)-1>0,可得x<-e
令f'(x)=ln(-x)-1<0,可得-e<x<0
∴f(x)在(-∞,-e)上是增函數(shù),在(-e,0)上是減函數(shù),(6分)
(Ⅱ)f'(x)=ln(-x)+a,
∵x∈[-e2,-e-1],
∴-x∈[e-1,e2],
∴l(xiāng)n(-x)∈[-1,2],(7分)
①若a≥1,則f'(x)=ln(-x)+a≥0恒成立,此時(shí)f(x)在[-e2,-e-1]上是增函數(shù),
fmax(x)=f(-e-1)=(2-a)e-1(9分)
②若a≤-2,則f'(x)=ln(-x)+a≤0恒成立,此時(shí)f(x)在[-e2,-e-1]上是減函數(shù),
fmax(x)=f(-e2)=-(a+1)e2(11分)
③若-2<a<1,則令f'(x)=ln(-x)+a=0可得x=-e-a
∵f'(x)=ln(-x)+a是減函數(shù),
∴當(dāng)x<-e-a時(shí)f'(x)>0,當(dāng)x>-e-a時(shí)f'(x)<0
∴f(x)在(-∞,-e)[-e2,-e-1]上左增右減,
∴fmax(x)=f(-e-a)=e-a,(13分)
綜上:g(a)=
(2-a)e-1a≥1
-(a+1)e2a≤-2
e-a,-2<a<1
(14分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力,中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對(duì)任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求|f(x)|的最大值.

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