Question

13．已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$（$\overrightarrow{α}$≠$\overrightarrow{β}$）滿足|$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{3}$且$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夾角為150°，則|m$\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$|的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 如圖所示，不妨設$\overrightarrow{α}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$.$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夾角為150°，可得∠OAB=30°．由于$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．可知：點C在直線AB上，當且僅當OC⊥AB時，$|\overrightarrow{OC}|$取得最小值，即可得出．

解答 解：如圖所示
不妨設$\overrightarrow{α}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$．
$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．
∵$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夾角為150°，
∴∠OAB=30°．
由于$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．
可知：點C在直線AB上，
當且僅當OC⊥AB時，$|\overrightarrow{OC}|$取得最小值，此時$|\overrightarrow{OC}|$=$|\overrightarrow{OA}|sin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|m$\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$|的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．
故答案為：$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了向量的夾角、直角三角形的邊角關系、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．