3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+$\frac{1}{x}$-4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),不等式a•3x-f(3x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)由奇函數(shù)的定義,可得x<0,-x>0,f(x)=-f(-x),即可得到所求f(x)的解析式;
(2)由題意可得a•3x-(3x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4)≤0,即有a≤($\frac{1}{{3}^{x}}$)2-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立,運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的最值求法,可得右邊函數(shù)的最小值,進(jìn)而得到a的范圍.

解答 解:(1)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0;
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=-x-$\frac{1}{x}$-4,
又f(-x)=-f(x),可得f(x)=x+$\frac{1}{x}$+4.
則f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+4,x<0}\\{0,x=0}\\{x+\frac{1}{x}-4,x>0}\end{array}\right.$;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),不等式a•3x-f(3x)≤0恒成立,
由3x>0,即為a•3x-(3x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4)≤0,
即有a≤($\frac{1}{{3}^{x}}$)2-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立,
令t=$\frac{1}{{3}^{x}}$($\frac{1}{3}$≤t≤3),則a≤t2-4t+1,
由g(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3,
t=2∈[$\frac{1}{3}$,3],可得g(t)的最小值為-3,
則a≤-3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法,注意運(yùn)用奇函數(shù)的定義,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性,以及二次函數(shù)的最值的求法,屬于中檔題.

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D.非零實(shí)數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等比數(shù)列,則$\frac{1}{a}$,$\frac{1}$,$\frac{1}{c}$一定構(gòu)成等比數(shù)列

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