Question

已知雙曲線C：（a>b>0）和圓O：x²+y²=b²（其中原點(diǎn)O為圓心），過雙曲線C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B。
（1）若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；
（2）求直線AB的方程；
（3）求三角形OAB面積的最大值。

Answer 1

解：（1）因?yàn)閍>b>0， 所以 所以 由∠APB=90°及圓的性質(zhì)，可知四邊形PAOB是正方形， 所以 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111213/201112130931384371042.gif"> 所以 所以 故雙曲線離心率e的取值范圍為。 （2）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111213/201112130931385001186.gif"> 所以以點(diǎn)P為圓心，|PA|為半徑的圓P的方程為   因?yàn)閳AO與圓P兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB， 所以聯(lián)立方程組 消去x2，y2，即得直線AB的方程為x0x+y0y=b2。

（3）由（2）知，直線AB的方程為x0x+y0y=b2， 所以點(diǎn)O到直線AB的距離為 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111213/201112130931385311454.gif">  所以三角形OAB的面積 因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線上， 所以， 即 設(shè) 所以 因?yàn)镾' 所以當(dāng)0＜t＜b時，S'>0，當(dāng)t>b時，S'＜0 所以 在（0，b）上單調(diào)遞增，在（b，+∞）上單調(diào)遞減， 當(dāng)，即時， S最大值= 當(dāng)，即時， S最大值= 綜上可知，當(dāng)，S最大值= 當(dāng)時，S最大值=。