Question

長(zhǎng)方體AC₁中，AB=BC=2，AA₁=

2

，E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）求二面角F-BC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能證明AF⊥BE．
（2）分別求出平面FBC的一個(gè)法向量和平面EBC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： （1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，

2

2

），B（2，2，0），E（1，1，

2

） …（4分）
∴

AF

=（-1，2，

2

2

），

BE

=（-1，-1，

2

），
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0，
∴AF⊥BE．…（6分）
（2）解：平面FBC的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0）…（7分）
設(shè)平面EBC的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

BC

=-2x=0，

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0
x=0，令z=1，則y=

2

，∴

n

=(0，

2

，1)…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

3

=

6

3

，
∴所求二面角余弦值為

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．