Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-a|+a，x∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求不等式f（x）＞7的解集；
（Ⅱ）對任意x∈R恒有f（x）≥3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=3時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}5-4x，x≤-\frac{1}{2}\\ 7，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 4x+1，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）由絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為|a+1|+a，由恒成立思想可得|a+1|+a≥3，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=3時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}5-4x，x≤-\frac{1}{2}\\ 7，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 4x+1，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$
所以f（x）＞7的解集為$x|x＜-\frac{1}{2}$或$\left.{x＞\frac{3}{2}}\right\}$
（Ⅱ）f（x）=|2x+1|+|a-2x|+a≥|2x+1+a-2x|=|a+1|+a，
由f（x）≥3恒成立，有|a+1|+a≥3，解得a≥1．
所以a的取值范圍是a≥1．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題，運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．