Question

5．已知點P（x₀，y₀）為橢圓4x²+y²=1上一動點，過點P作圓x²+y²=$\frac{1}{3}$的切線l，過坐標原點O作OP的垂線交直線l于點S．
（1）求x₀的取值范圍；
（2）求點S的軌跡所在的曲線方程；
（3）求|PS|的最小值及此時△OPS的面積．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，計算即可；
（2）設S（x，y），通過P（x₀，y₀）在橢圓4x²+y²=1上、OP⊥OS及三角形面積的不同計算方法可得$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，分y≠0、y=0兩種情況討論即可；
（3）利用$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3及基本不等式計算即可．

解答 解：（1）依題意得，滿足條件的x₀滿足$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即$3{{x}_{0}}^{2}+3（1-4{{x}_{0}}^{2}）＞1$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{3}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
 故x₀的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$）；
（2）設S（x，y），
∵P（x₀，y₀）在橢圓4x²+y²=1上，
∴4x₀²+y₀²=1                         ①
∵OP⊥OS，∴x₀x+y₀y=0                ②
在Rt△OPS中，斜邊PS上的高等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴|OP|•|OS|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|PS|，
∴$\frac{|OP{|}^{2}•|OS{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OS{|}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OS{|}^{2}}$=3，
∴$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3                 ③
（ⅰ）當y≠0時，由②得y₀=-$\frac{{x}_{0}x}{y}$代入①得${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{1-3{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3{y}^{2}}{{x}^{2}+4{y}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
代入③得：$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，
化簡得：2x²-y²=1；
（ⅱ）當y=0時，代入②得x₀x=0，顯然此時x≠0，
否則切線l過原點，不成立，即x₀=0，此時${{y}_{0}}^{2}$=1，
代入③得：2x²=1，即此時2x²-y²=1也成立．
綜上所述，點S的軌跡所在的曲線方程為：2x²-y²=1；
（3）由（2）知：$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，
又|PS|²=（x₀²+y₀²）+（x²+y²）
=[（x₀²+y₀²）+（x²+y²）]$•\frac{1}{3}•$（$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+2）$≥\frac{4}{3}$，
從而|PS|≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當且僅當x₀²+y₀²=x²+y²=$\frac{2}{3}$時取等號，
∴|PS|的最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時S_△OPS=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．