Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離1+$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）過X軸上一點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜a）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在橢圓C上是否存在定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出m的值及點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的范圍和對(duì)稱性，可得b=c，a+c=1+$\sqrt{2}$，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論直線l的斜率不存在，設(shè)出直線l的方程，求得圓的方程，求得定點(diǎn)T，討論直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和圓的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直的條件，即可得到存在定點(diǎn)T．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₁（c，0），
依題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=c}\\{a+c=1+\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
所以，橢圓方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=m，
由$\frac{m^2}{2}+{y^2}=1$，得：${y^2}=1-\frac{m^2}{2}$，
此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為：${（x-m）^2}+{y^2}=1-\frac{m^2}{2}…（1）$，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y=0，
此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為：x²+y²=2…（2）
要使定點(diǎn)T存在，可知方程（1），（2）聯(lián)立方程組只有一解，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2m}+\frac{3}{4}m}\\{y=0}\end{array}}\right.$，
$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2m}+\frac{3}{4}m）}^2}=2}\\{0＜m＜\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，解得$m=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$時(shí)，可能橢圓上存在定點(diǎn)$T（\sqrt{2}，0）$滿足題意．
當(dāng)過點(diǎn)$M（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$直線l斜率存在時(shí)，存在定點(diǎn)$T（\sqrt{2}，0）$滿足題意，
設(shè)直線l的方程為：$x=ky+\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky+\frac{{\sqrt{2}}}{3}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得：$（{k^2}+2）{y^2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}ky-\frac{16}{9}=0$，
$△=\frac{8}{9}{k^2}+\frac{64}{9}（{k^2}+2）＞0$，${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}k}}{{3（{k^2}+2）}}，{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{{9（{k^2}+2）}}$，
此時(shí)，$\overrightarrow{TA}=（{x_1}-\sqrt{2}，{y_1}），\overrightarrow{TB}=（{x_2}-\sqrt{2}，{y_2}）$，$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}=（{k^2}+1）{y_1}{y_2}-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}k（{y_1}+{y_2}）+\frac{8}{9}=（{k^2}+1）[-\frac{16}{{9（{k^2}+2）}}]-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}k[-\frac{{2\sqrt{2}k}}{{3（{k^2}+2）}}]+\frac{8}{9}=0$，
因此，過點(diǎn)$M（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$直線l斜率存在時(shí)，以AB為直徑的圓過定點(diǎn)$T（\sqrt{2}，0）$．
綜上所述：存在定點(diǎn)$T（\sqrt{2}，0）$滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．