Question

已知函數(shù)f（x）=x³-log₂（

x2+1

-x），則對于任意實數(shù)a、b（a+b≠0），

f(a)+f(b)

a3+b3

的值（　　）

• A、恒大于0
• B、恒小于1
• C、恒大于-1
• D、不確定

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)式子可判斷f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

f(a)+f(b)

a3+b3

=

f(a)+f(b)

(a2-ab+b2)(a+b)

判斷符號即可．

解答： 解：∵f（x）=x³-log₂（

x2+1

-x）=x³+log₂（

x2+1

+x），
∴根據(jù)解析式可判斷f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∵f（-x）=（-x）³+log₂（

x2+1

-x）=-（x³+log₂（

x2+1

+x）=-f（x）
∴f（-x）=-f（x）即f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵

f(a)-f(-b)

a-(-b)

＞0，a²-ab+b²＞0，任意實數(shù)a、b（a+b≠0），
∴

f(a)+f(b)

a3+b3

=

f(a)+f(b)

(a2-ab+b2)(a+b)

＞0
故選：A

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運用解決問題，屬于中等題．