Question

已知函數(shù)y=

x2

4

的圖象為C₁，過定點(diǎn)A（0，1）的直線l與C₁交于B、C兩點(diǎn)，過B、C所作C₁的切線分別為l₁、l₂．
（1）求證：l₁⊥l₂
（2）記線段BC中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線l₁、l₂的斜率分別為k₁=

x1

2

、k₂=

x2

2

．將直線l方程與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=-4，從而k₁k₂=

1

4

x₁x₂=-1，由此即可得到l₁⊥l₂．
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立方程組并消去參數(shù)可得y=

x2

2

+1，即為線段BC中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)直線l：y=kx+1，點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 y= x2 4

消去y，可得x²-4kx-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=-4．
對(duì)函數(shù)y=

x2

4

求導(dǎo)數(shù)，得y′=

x

2

，
∴直線l₁的斜率為k₁=

x1

2

，直線l₂的斜率為k₂=

x2

2

∵x₁x₂=-4，∴k₁k₂=

1

4

x₁x₂=-1，由此可得l₁⊥l₂．
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），可得
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

=

1

8

（x12+x22），
∵x²-4kx-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴x=2k，y=

1

8

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=

1

8

（16k²+8），
消去k，可得y=

1

8

（4x²+8），化簡(jiǎn)得y=

x2

2

+1．
綜上所述，得線段BC中點(diǎn)M的軌跡方程為y=

x2

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的兩條切線互相垂直，求切點(diǎn)弦中點(diǎn)M的軌跡方程．著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的幾何性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．