Question

16．已知函數f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m，
（1）求y=f（x）在區(qū)間[0，a]（a＞0）上的最小值
（2）若對任意的x₁∈[1，4]，都有x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二次函數的性質，求得f（x）在區(qū)間[0，a]（a＞0）上的最小值．
（2）在[1，4]上，求得f（x）∈[-1，3]，再根據g（x）的值域包含[-1，3]，求得m的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1 在區(qū)間[0，a]上，
故當a≤2 時，$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}-4a+3$；
當a＞2時，f（x）_min=f（2）=-1；∴$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}-4a+3，a∈（{0，2}]}\\{-1，a∈（{2，+∞}）}\end{array}}\right.$．
（2）由已知，在[1，4]上，m≠0，f（x）∈[-1，3]，
當m＞0時，g（x）∈[5-m，2m+5]，$\left\{{\begin{array}{l}{5-m≤-1}\\{2m+5≥3}\end{array}}\right.⇒m≥6$；
當m＜0時，g（x）∈[2m+5，5-m]，由$\left\{{\begin{array}{l}{2m+5≤-1}\\{5-m≥3}\end{array}}\right.⇒m≤-3$，
∴m∈（-∞，-3]∪[6，+∞）．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，二次函數的性質，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．