Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足 = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)cn=2n+λbn ， 問是否存在實(shí)數(shù)λ使得數(shù)列{cn}（n∈N*）是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；

n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化為：an=2an﹣1．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2．∴an=2n．

（2）解：∵ = = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，

∴ = ﹣ ﹣…+ ，

∴ =（﹣1）n+1 ，∴bn=（﹣1）n ．

當(dāng)n=1時(shí)， = ，解得b1= ．∴bn= ．

（3）解：cn=2n+λbn，

∴n≥3時(shí)，cn=2n+λ ，cn﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ ，

cn﹣cn﹣1=2n﹣1+ ＞0，即（﹣1）nλ＞﹣ ．

① 當(dāng)n為大于或等于4的偶數(shù)時(shí)，λ＞﹣ ，即λ＞﹣ ，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，λ＞﹣ ．

②當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，λ＜ ，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，λ＜ ．

當(dāng)n=2時(shí)，c2﹣c1= ﹣ ＞0，即λ＜8．

綜上可得：λ的取值范圍是 ．

【解析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為：an=2an﹣1 ． 即可得出．（2） = = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，n≥2時(shí)， = ﹣ ﹣…+ ，相減可得：bn=（﹣1）n ．當(dāng)n=1時(shí)， = ，解得b1= ．（3）cn=2n+λbn ， n≥3時(shí)，cn=2n+λ ，cn﹣cn﹣1=2n﹣1+ ＞0，即（﹣1）nλ＞﹣ ．①當(dāng)n為大于或等于4的偶數(shù)時(shí)，λ＞﹣ ．②當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，λ＜ ．當(dāng)n=2時(shí)，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．