Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足4cos²

A

2

-cos2（B+C）=

7

2

．
（1）求角A的大��；
（2）若b+c=3，當(dāng)a取最小值時，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用倍角公式和誘導(dǎo)公式即可得出；
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）∵4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

，
∴2(1+cosA)-cos2(π-A)=

7

2

，
∴2cosA-cos2A=

3

2

，
 又cos2A=2cos²A-1代入可得：（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

 即A=

π

3

．
（2）由余弦定理知：a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=9-3bc，
又∵3=b+c≥2

bc

 當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

2

時取等號，
∴bc≤

9

4

，
 從而a2≥

9

4

，
即a≥

3

2

，
∴當(dāng)a=

3

2

時a最小，此時b=c=

3

2

，
∴該三角形為正三角形．

點(diǎn)評：本題考查了倍角公式和誘導(dǎo)公式、余弦定理和基本不等式，屬于中檔題．