Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸是2

3

，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-

2

，0），（

2

，0）．
（1）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線y=x+m與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）由已知得2a=2

3

，c=

2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由

y=x+m x2 3 +y2=1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，由此利用韋達(dá)定理能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得2a=2

3

，c=

2

，
解得a=

3

，∴b²=3-2=1，…（2分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2 3 +y2=1

，
解方程組并整理得4x²+6mx+3m²-3=0，…（7分）
∵有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-3）=-12（m²-4）＞0．…（9分）
解不等式得-2＜m＜2．
∴m的取值范圍（-2，2）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．