Question

2．已知數(shù)列{a_n} 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₂=1，a₃+a₄=6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n-n} 的前n 項和為S_n，比較S₄ 和S₅ 的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n-n} 的前n 項和S_n 的意義可得S₅-S₄=a₅-5，進(jìn)而得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n} 的公比為q，由a₃+a₄=6，
可得${a_2}q+{a_2}{q^2}=6$ 又a₂=1，所以q+q²=6，
解得q=2 或q=-3，
因為a_n＞0 （n=1，2，3，…），所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=q＞0$．
所以q=2，解得${a_1}=\frac{1}{2}$，
所以，數(shù)列{a_n} 的通項${a_n}={2^{n-2}}，（n=1，2，3，…）$．．
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n-n} 的前n 項和S_n 的意義可得S₅-S₄=a₅-5，
所以${S_5}-{S_4}={2^{5-2}}-5=3＞0$，
所以S₅＞S₄．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．