Question

【題目】橢圓：，其長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作為直徑的圓的周長(zhǎng)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.若，求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，其中且.設(shè)的面積為.以、為直徑的圓的面積分別為，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意知a＝2b，且，由此能求出橢圓方程．

（2）先考慮直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合向量的垂直關(guān)系即可找到找m，k的關(guān)系式，從而求得．再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也滿足，則可得點(diǎn)的軌跡方程.

（3）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件能求出的取值范圍．

（1）由題可知，，且，解得：，，

故橢圓的方程為：.

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由可得，由韋達(dá)定理有：

且

∵，∴，即

∴

由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：

∵垂直直線，∴

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)：，易求，此時(shí)

所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（3）設(shè)直線的方程為，

由可得，由韋達(dá)定理有：

且

∵，∴，即

由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：.

∵，∴

此時(shí)，即.

故

又

為定值.

∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

綜上：.