已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a＞0,a≠1),

(1)證明函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側;

(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1＜x2)是圖象上兩點,證明直線AB的斜率大于0;

(3)求函數(shù)y=f(2x)與y=f-1(x)的圖象的交點坐標.

(1)證明：由ax-1＞0,得ax＞1.

    當a＞1時,x＞0,此時f(x)的圖象在y軸右側;

    當0＜a＜1時,x＜0,此時f(x)的圖象在y軸左側.

    故函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側.

(2)證明：當a＞1時,y=ax是增函數(shù),設0＜x1＜x2,則1＜＜,于是0＜ -1＜-1.

    故loga(-1)＜loga(-1),即y1＜y2;

    當0＜a＜1時,y=ax是減函數(shù),設x1＜x2＜0,則＞＞1,于是-1＞-1＞0.

    故loga(-1)＜loga(-1),即y1＜y2.

∴不論a＞1或0＜a＜1,當x1＜x2時,總有y1＜y2,∴直線AB的斜率＞0.

(3)解：∵f(x)=loga(ax-1),

∴f-1(x)=loga(ax+1),

f(2x)=loga(a2x-1).

∴ax+1=a2x-1,即(ax)2-ax-2=0.

∴ax=2.∴x=loga2,f-1(x)=loga3.

∴交點坐標為(loga2,loga3).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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