Question

如圖，線段EF的長度為1，端點E，F在邊長不小于1的正方形ABCD的四邊上滑動，當E，F沿正方形的四邊滑動一周時，EF的中點M所形成的軌跡為G，若G的周長為l，其圍成的面積為S，則l-S的最大值為

5

4

π

．

Answer 1

分析：確定軌跡為G是四個角處的四個直角扇形與正方形的四條邊上的四條線段組成，然后根據圓的周長公式、面積公式可得l-S的表達式，利用配方法可求最大值．

解答：解：在正方形的每個角上，G是半徑為

1

2

的

1

4

圓，周長為：2π×0.5=π
設正方形邊長為a（a＞1），則l=π+4a-4，S=a²-

π

4

∴l(xiāng)-S=-a²+4a-4+

5

4

π=-（a-2）²+

5

4

π
∴當a=2時，l-S的最大值為

5

4

π
故答案為：

5

4

π

點評：本題考查軌跡的確定，考查函數模型的構建，考查函數的最值，確定軌跡是關鍵．