Question

若兩個實數(shù)x、y滿足x＞2，y＞0，且x+2y=3，且

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：依題意，由y＞0，x=3-2y＞2，可得0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，于是利用基本不等式可求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，再解不等式m²+2m＜8，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵x＞2，y＞0，且x+2y=3，
∴x=3-2y＞2，
∴0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，
∴

2

x-2

+

1

y

=

2

1-2y

+

1

y

=

1

(1-2y)y

=

2

(1-2y)•2y

≥

2

( 1-2y+2y 2 )2

=8（當且僅當y=

1

4

時取“=”），
即（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，
∵

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，
∴m²+2m＜8，
解得：-4＜m＜2．
故答案為：（-4，2）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查基本不等式的應用，求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8是關鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力．