Question

已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；
(2)若g(x)=f(x)一有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；
(3)設(shè)q>p>2，求證：當(dāng)x∈(p，q)時(shí)，.

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，先對(duì)求導(dǎo)，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式，直接寫出切線方程；第二問，對(duì)求導(dǎo)，由于有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有2個(gè)不同的根，即在有兩個(gè)不同的根，所以且，可以解出a的取值范圍，所以根據(jù)的單調(diào)性判斷出為極小值，通過函數(shù)的單調(diào)性求最值，從而比較大小；第三問，用分析法證明分析出只須證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明，同理再證明，最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.
試題解析：（1）易知，∴ 
∴所求的切線方程為，即 4分
（2）易知，
∵有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
∴在有兩個(gè)不同的根
則且 解得               6分
在遞增，遞減，遞增
∴的極小值
又∵
∴
則，∴在遞減
∴，故                        9分
（3）先證明：當(dāng)時(shí)，
即證：
只需證：
事實(shí)上，設(shè)
易得，∴在內(nèi)遞增
∴  即原式成立                        12分
同理可以證明當(dāng)時(shí)，   
綜上當(dāng)時(shí)，.             14分