設(shè)f(x)=a•(log2x)2+b•log2x+1(a,b>為常數(shù)).當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)=f(x),且F(x)為R上的奇函數(shù).
(1) 若f(
1
2
)=0,且f(x)的最小值為0,則F(x)的解析式為
 
;
(2) 在(1)的條件下,若g(x)=
f(x)+k-1
log2x
在[2,4]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
分析:(1)利用二次函數(shù)的最小值公式求出最小值令其為0,列出方程組求出a,b的值;利用奇函數(shù)的定義求出x<0的解析式;求出F(0),得到F(x)的解析式.
(2)令log2x=t,將g(x)轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題,求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立,分離出k轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,求出k的范圍
解答:解:∵f(
1
2
)=0,f(x)的最小值為0

a-b+1=0
4a-b2
4a
=0 

解得
a=1
b=2

設(shè)x<0則-x>0
∴F(-x)=f(-x)=[log2(-x)]2+2log2(-x)+1
∵F(x)為R上的奇函數(shù)
∴F(x)=-F(x)=-[log2(-x)]2-2log2(-x)-1
∵F(x)為奇函數(shù)
∴F(0)=0
F(x)=  
(log2x)2+2log2x +1         x>0
0                                      x=0
-[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x<0

(2)∴g(x)=
[log2(x)]2+2log2 (x)+k
log2x

令log2x=t,t∈[1,2]則y=
t2+2t+k
t
,t∈[1,2]是單調(diào)函數(shù)
y′=
t2-k
t2
≥0或
y′=
t2-k
t2
≤ 0
( t∈[1,2])恒成立
∴k≤t2或k≥t2,t∈[1,2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案為F(x)= 
(log2x)2+2log2x +1         x>0
0                                      x=0
-[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x<0
;k≤1或k≥4
點(diǎn)評(píng):本題考查求函數(shù)解析式的方法:待定系數(shù)法,直接法、考查奇函數(shù)的定義、考查知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立、考查解決恒成立問題常分離參數(shù)求函數(shù)的最值.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f1(x)=|3x-1|,f2(x)=|a•3x-9|(a>0),x∈R,且f(x)=
f1(x)     f1(x)≤f2(x)   
f2(x)     f1(x)>f2(x)

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)2≤a<9時(shí),設(shè)f(x)=f2(x)所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為l(閉區(qū)間[m,n]的長(zhǎng)度定義為n-m),試求l的最大值;
(Ⅲ)是否存在這樣的a,使得當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)=f2(x)?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax-
1x
,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常數(shù)).
(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)P(1,g(1))處的切線l.
(2)是否存在常數(shù)a,使l也是曲線y=f(x)的一條切線.若存在,求a的值;若不存在,簡(jiǎn)要說明理由.
(3)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù).設(shè)f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)二次函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)a=1,b=2,若h (x)為偶函數(shù),求h(
2
)
;
(Ⅱ)設(shè)b>0,若h (x)同時(shí)也是g(x)、l(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù),求a+b的最小值;
(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個(gè)二次函數(shù),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+l|-|x-2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤|a-2|的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)命題p:f(x)=2x2+mx+l在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,命題q:m≥-1,則p是q的(  )

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