(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
an
3n
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù),若cn=1-
a
an
(n∈N*)
,求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù).
分析:(1)先根據(jù)不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素再結(jié)合a>0求出a=4,進(jìn)而代入求出Sn=n2-4n+4;再根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng),再結(jié)合錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)先根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng),再通過做差求出數(shù)列{cn}的增減性,最后結(jié)合變號(hào)數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4
又由a>0得a=4,f(x)=x2-4x+4
∴Sn=n2-4n+4
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1-4+4=1;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5
∴an=
1
2n-5
(n=1)
(n≥2且n∈N)…(5分)
(2)∵Tn=
1
3
+
-1
32
+
1
33
+
3
34
+…+
2n-5
3n

1
3
Tn=
1
32
+
-1
33
+
1
34
+
3
35
+…+
2n-7
3n
+
2n-5
3n+1

由①-②得
2
3
T=
1
3
-
2
32
+2(
1
33
+
1
34
+…+
1
3n
)-
2n-5
3n+1

∴Tn=
1
3
-
n-1
3n
…(10分)

(3)由題設(shè)cn=
-3,(n=1)
1-
4
2n-5
,(n≥2,n∈N)

∵n≥3時(shí),cn+1-cn=
4
2n-5
-
4
2n-3
=
8
(2n-5)(2n-3)
>0
∴n≥3時(shí),數(shù)列{cn}遞增
∵c4=-
1
3
<0,由1-
4
2n-5
>0⇒n≥5可知an>0(n≥5)且c4c5
=<0
即n≥3時(shí),有且只有一個(gè)變號(hào)數(shù)
又∵c1=-3,c2=5,c3=-3,即c1•c2<0,c2•c3<0.
∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè).
綜上,得數(shù)列{cn}共有3個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為3.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查已知數(shù)列的和求通項(xiàng)以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和.解決第三問的關(guān)鍵在于通過做差得到數(shù)列的單調(diào)性,并理解新定義.
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(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定義域?yàn)閇-1,1],且|f(x)|的最大值為M.
(Ⅰ)試證明|1+b|≤M;
(Ⅱ)試證明M≥
1
2
;
(Ⅲ)當(dāng)M=
1
2
時(shí),試求出f(x)的解析式.

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(Ⅰ)試證明|1+b|≤M;
(Ⅱ)試證明數(shù)學(xué)公式;
(Ⅲ)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),試求出f(x)的解析式.

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)學(xué)公式,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù),若數(shù)學(xué)公式,求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù).

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(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*)
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