(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素,設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)設各項均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個數(shù),稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù),若,求數(shù)列{cn}的變號數(shù).
【答案】分析:(1)先根據(jù)不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素再結合a>0求出a=4,進而代入求出Sn=n2-4n+4;再根據(jù)前n項和與通項之間的關系即可求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)先求出數(shù)列{bn}的通項,再結合錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(3)先根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項,再通過做差求出數(shù)列{cn}的增減性,最后結合變號數(shù)的定義即可得到結論.
解答:解:(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個元素∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4
又由a>0得a=4,f(x)=x2-4x+4
∴Sn=n2-4n+4
當n=1時,a1=S1=1-4+4=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-5
∴an=(n=1)
(n≥2且n∈N)…(5分)
(2)∵Tn=

由①-②得
∴Tn=…(10分)

(3)由題設cn=
∵n≥3時,cn+1-cn=>0
∴n≥3時,數(shù)列{cn}遞增
∵c4=-=<0
即n≥3時,有且只有一個變號數(shù)
又∵c1=-3,c2=5,c3=-3,即c1•c2<0,c2•c3<0.
∴此處變號數(shù)有2個.
綜上,得數(shù)列{cn}共有3個變號數(shù),即變號數(shù)為3.…(13分)
點評:本題主要考查已知數(shù)列的和求通項以及數(shù)列的錯位相減法求和.解決第三問的關鍵在于通過做差得到數(shù)列的單調性,并理解新定義.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素,設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=
an
3n
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(3)設各項均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個數(shù),稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù),若cn=1-
a
an
(n∈N*)
,求數(shù)列{cn}的變號數(shù).

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(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定義域為[-1,1],且|f(x)|的最大值為M.
(Ⅰ)試證明|1+b|≤M;
(Ⅱ)試證明M≥
1
2
;
(Ⅲ)當M=
1
2
時,試求出f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定義域為[-1,1],且|f(x)|的最大值為M.
(Ⅰ)試證明|1+b|≤M;
(Ⅱ)試證明數(shù)學公式;
(Ⅲ)當數(shù)學公式時,試求出f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(理科)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素,設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設數(shù)學公式,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)設各項均不為0的數(shù)列{cn}中,所有滿足cm•cm+1<0的正整數(shù)m的個數(shù),稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù),若數(shù)學公式,求數(shù)列{cn}的變號數(shù).

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