Question

15．已知f（x）=bx+1為x的一次函數(shù)，b為不等于1的常數(shù)，且g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=0）}\\{f[g（n-1）]（n≥1）}\end{array}\right.$．
（1）若a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S_n（用n，b表示）．

Answer 1

分析 （1）通過代入計算可知g（n）=bⁿ+b^n-1+…+b+1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）及等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，g（0）=1，
g（1）=f[g（0）]=f（1）=b+1，
g（2）=f[g（1）]=f（b+1）=b²+b+1，
…，
g（n）=bⁿ+b^n-1+…+b+1，
又∵a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），
∴a_n=（bⁿ+b^n-1+…+b+1）-（b^n-1+…+b+1）=bⁿ，
于是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）解：由（1）及b≠1可知S_n=$\frac{b（1-^{n}）}{1-b}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．