Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$有交點(diǎn)P，且有公共的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且∠F₁PF₂=2α．求證：tanα=$\frac{n}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出cos2α，再利用三角函數(shù)中正切的半角公式即可證得．

解答 證明：因?yàn)闄E圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0）有公共的焦點(diǎn)F₁、F₂，
所以有：a²-b²=m²+n²，
不妨設(shè)兩曲線的交點(diǎn)P位于雙曲線的右支上，設(shè)|PF₁|=p，|PF₂|=q．
由雙曲線和橢圓的定義可得 p+q=2a，p-q=2m，
解得 p²+q²=2（a²+m²），pq=a²-m²，
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=cos2α=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}-4{c}^{2}}{2pq}$=$\frac{^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}$，
∴tanα=$\frac{1-cos2α}{sin2α}$=$\frac{1-\frac{^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}}{\sqrt{1-[\frac{^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}]^{2}}}$=$\frac{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，及圓錐曲線的定義．屬于中檔題．